Introdurre alle prime nozioni di Teoria Algebrica dei numeri.
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An introduction to Algebraic Number Theory.
Qualche nozione di teoria dei corpi (splitting fields, separabilità , normalità ,..). I principi della teoria di Galois. Qualche nozione elementare di algebra commutativa (localizzazione, prodotti tensoriali).
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Some notions of the theory of fields (splitting fields, separability, normality,..). The principles of Galois theory. Some elementary notions of commutative algebra (localization, tensor products,..)
Italiano
Lezioni frontali in lingua inglese.
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English Classroom Lectures.
1. Localizzazione e dipendenza integrale.
2. Anelli di valutazione discreta e di Dedekind. UFD.
3. Ideali frazionari e gruppo di classe.
4. Normal Basis Theorem e Hilbert’s Theorem 90.
5. Estensioni di anelli di Dedekind.
6. Ramificazione e discriminante.
7. Norme di ideali.
8. Calcolo esplicito di anelli di interi.
9. Campi ciclotomici. Somme di Gauss.
10. Campi Quadratici, legge di reciprocita` quadratica.
11. Teoria di Minkowski (finitezza del numero di classi, regolatore).
12. Valuationi and completamenti. Campi locali.
13. Estensioni di campi locali. Gruppi di decomposizione e di inerzia.
14. Formula del prodotto.
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The topics to be covered will be:
1. Short review of localization and integral dependence.
2. Discrete valuation rings and Dedekind rings. UFD property.
3. Fractional ideals and the class group.
4. Normal Basis Theorem and Hilbert’s Theorem 90.
5. Extensions of Dedekind rings.
6. Ramification and the discriminant.
7. Norms of ideals.
8. Explicit determination of ring of integers.
9. Cyclotomic fields. Gauss sums.
10. Quadratic fields, quadratic reciprocity law.
11. Minkowski Theory (finiteness of class number and the unit theorem, the regulator).
12. Valuations and completions. Local fields.
13. Extensions of local fields. Decomposition and inertia groups.
14. Product formula.
Gerald J. Janusz : Algebraic Number Fields, Graduate Studies in Mathematics Volume 7 American Mathematical Society 1996.